РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 26 № 6155 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 4. Линейные диофантовы уравнения

Решите уравнение $1812x плюс 1941y = 666$ в целых числах.

Решение. Заметим, что обе части уравнения можно разделить на 3, получим уравнение:

$604x плюс 647y = 222.$

Чтобы найти частное решение уравнения, будем искать наибольший общий делитель чисел 604 и 647 при помощи алгоритма Евклида (ясно, что этот делитель равен 1, нам нужно получить для него представление в виде $1 = 604p плюс 647q$ ). Находим:

$647 = \bold 604 плюс \bold 43,$

то есть

$43 = 647 умножить на 1 минус 604;$

$604 = \bold 43 умножить на 14 плюс \bold 2,$

то есть

$2 = 604 минус 14 умножить на 43;$

$43 = \bold 2 умножить на 21 плюс \bold 1,$

то есть

$1 = 43 минус 21 умножить на 2.$

Таким образом,

$1 = 43 минус 21 умножить на 2 = 43 минус 21 умножить на левая круглая скобка 604 минус 14 умножить на 43 правая круглая скобка = 295 умножить на 43 минус 21 умножить на 604 =$
$= 295 умножить на левая круглая скобка 647 минус 604 правая круглая скобка минус 21 умножить на 604 = 295 умножить на 647 минус 316 умножить на 604.$

Следовательно,

$647 умножить на 295 минус 604 умножить на 316 = 1.$

Искомое представление найдено. Умножая обе части уравнения на 222, окончательно получаем:

$604 умножить на левая круглая скобка 316 умножить на 222 правая круглая скобка плюс 647 умножить на левая круглая скобка 295 умножить на 222 правая круглая скобка = 222,$

то есть

$604 умножить на 70 152 плюс 647 умножить на 65 490 = 222 .$

Тем самым частным решением уравнения являются числа $x_0 = 70 152$ и $y_0 = 65 490.$ Поэтому общее решение есть:

$x = минус 70 152 плюс 647t,$

$y = 65 490 минус 604t,$

где $t = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots .$

Ответ: $x = минус 70 152 плюс 647t,$ $y = 65 490 минус 604t,$ где $t = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots .$

6155

$x = минус 70 152 плюс 647t,$ $y = 65 490 минус 604t,$ где $t = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	6155	$x = минус 70 152 плюс 647t,$ $y = 65 490 минус 604t,$ где $t = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots .$